三点共线定理重要吗，是的，三点共线定理非常重要，它指出了有三个点如果在同一条直线上，那么他们间的距离关系是一定的。

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向量证明三点共线例题

假设有三个点A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），要证明它们共线，我们来看两个把它们连起来的向量：

BA=(b1-a1, b2-a2)，BC=(c1-b1, c2-b2)。

如果我们可以证明这两个向量垂直，就能说明点A，B，C共线。

所以，要证实向量BA垂直BC，我们需要证明它们的内积为0，也就是：

BA.BC=0 。

让我们把它拆开，内积的定义是：

(b1-a1)(c1-b1) + (b2-a2)(c2-b2) = 0。

于是：

b1c1 - a1c1 - b1a1 + a1a1 + b2c2 - a2c2 - b2a2 + a2a2 = 0 简单化可得：

c1 - 2b1 + a1 + c2 - 2b2 + a2 = 0 可知，B既是满足这个等式中的中间变量的值，所以已知点A和点B的位置就可以决定C的位置，由此可知，A，B，C三点共线。

平面向量共线定理例题

平面向量共线定理说明：

当几个平面向量的和为0时，他们是共线的。

例题：

假设有三个向量A，B，C，分别有2，3，4个分量。

A = (x1 , y1 ) B = (x2 , y2 ) C = (x3 , y3 ) 若A+ B + C = ( 0 , 0 )，则这三个向量共线。

证明：

由A + B + C = ( 0 , 0 )，可知x1 + x2 + x3 = 0 ，y1 + y2 + y3 = 0 设A，B ，C 共线 ，则存在一个t ，令 A = t*B 即有：

x1 = tx2 x2 = tx2 那么有：

x1 + x2 + x3 = tx2 + x2 + x3 = t(x2 + x2 + x3) = t(0) = 0 同理：

y1 + y2 + y3 = 0 由此可知，若A + B + C = ( 0 , 0 )，三个向量A，B，C共线。

综上所述，如果A+ B + C = ( 0 , 0 )，这三个向量A，B，C是共线的。